“用二元整数环好像超纲了！”
第二种证法写完，钟杳沉吟了下，重新又抽了一张草稿纸，笔尖继续书写，
这一次，她没有向外去寻找更高等的代数数论工具，就停留在初高中基础neir的框架之内。
用最小反例纯反证，反证：假设存在k不是平方数，存在正整数解。
由正整数良序原理，取一组总和(s=a b)最小的反例((A，B))，不妨(Age Bge1)。由整除条件：
她换了思路，用反证法做了一次精巧的封堵：
·······
与“k不是平方数”的反证假设矛盾。
故不存在反例，k必为平方数。
“这个思考角度不常见，用的知识点却都是大家能掌握的！”穆淮等钟杳最后一笔落定抬头，才开口好奇探问：“钟杳，你还有其他解法吗？”
钟杳点点头，略加思索，整理语言道：
“还可以做代数换元转化成佩尔方程。如果 k不是平方数，(k^2-4)就不是完全平方，对应非齐次佩尔方程。它的解会由佩尔单位不断生成，可代回原方程检验，只有 k为完全平方数，才能得到正整数a。”
她笔尖轻点纸面的方程轮廓，继续补充：
“也可以从二次曲线整点的几何角度看，这个方程本身就是一条双曲线。k是平方数时，曲线上有无穷多正整数整点；k非平方，即便存在无理点，也不存在整数整点，直接就能得到结论。”
“但是这两种方法和刚才的二元整数环一样，超纲了！不过这道题挺有意思，也算是让我对最近的学习内容贯穿融汇运用！”
“钟杳，竞赛考场不是完全禁用大学内容，而是不能直接拿来就用现成的大学定理。咱们要用，只是要把中间关键步骤全部自行补出来，不能直接搬结论而已。”
“也就是说竞赛里要是想用超纲定理，要从头到尾把整个定理重新推导一遍吗？”钟杳抬眸问道，这倒是她的一定认知盲点。
穆淮轻轻摇了摇头，指尖敲了敲草稿纸边缘：“也不用完整重推整套大定理，分情况。
如果是竞赛大纲外的高级结论，不能直接甩一句‘由某某定理得证’就完事。
你要使用的，只是这个定理里面对你解题有用的那一小段核心性质，把这部分关键逻辑自己证出来就行，不用把整个宏大理论从头构建一遍。”
他顿了顿，说得更清楚：
“就拿刚才的佩尔方程、二次环范数来说。你不能直接写‘由二次整数环范数性质，故 k为平方数’，阅卷人直接不给分。但如果你把本题用到的那几条关键性质，在这道题的框架内就地推导出来，再往下做题，那就是合法的，阅卷人只会拍案叫绝。”
“当然，代价很大。”穆淮语气务实，这是超天才的炫技，不适于常规运用。
“对于大多数学生来说，很多大学定理背后的铺垫很长，就地补推导，篇幅会爆炸，步骤一多还很容易出现疏漏，反而不如用初等技巧简洁稳妥。
所以考场上即便你懂高等工具，大多只用来辅助自己看清题目的本质，写卷面上还是尽量选用初等证法。”
钟杳认真点点头，虽然她在学习的时候，每条定理都有做过重头推导演练，认真吃透，熟练掌握，而不是只是背下定理。
但考场考得是分数，肯定是哪个方法更简洁更实用，用哪个，又不是纯粹为了炫技。
“钟杳，你自由学习，刚才的题目做得很好，严密精炼，全满分已经成为你的代名词了！”穆淮笑着表扬道，他这话说得是真心实意，
能把研究生板块的超前知识玩出花来，他们今晚的竞赛题目，对于钟杳来说，不过小卡拉米。
不说像高中生做一加一等于二，也最不过是高中生做一元二次方程的感觉，真真的高射炮打蚊子，降维打击。
师生两人在靠边的角落讨论的有来有往，声音虽然压低，但是临近两三位竞赛主力还是听得清楚，甚至手下的笔都不自觉的顿住，
等等，他们听到了什么，
88年竞赛题拿出来的时候，他们全军覆没，讲解学习之后，变格式，又差点儿让他们全军覆没。
而现在，高一小朋友直接摆出一二三种解法还不够，随时还能再掏出两种方法阐述分明····
五种解法随意捌万，秀翻天，
不敢睁开眼，希望是他们的幻觉。
那他们这些做着比该题难度低上几个级别题目，人家全满分呢，他们依然吭吭哧哧，第三题还没攻克完，脑汁都快烧干的算什么？
算他们来智障吗？
他们恨不得现在，穿到穆老师带着小学妹刚进班里的时候，噼里啪啦给刚才看轻人家的自己一顿大逼斗，你有什么资格小看人家升仙大气层的学神！
“时间到，试卷都交上来，今天最后半小时，不复盘今天的卷子，给你们开开眼界，别整天牛气轰轰，天老大你们老二，地都得排在第三。”
“88年经典题目，常规解法大家有见过，今天钟杳同学为大家开创两种新解法，当然，给大家多角度开拓思维就行，你们就不要轻易学，一般人用不了。
另外，此次测试，高一钟杳同学四十分钟做完，还是满分180分！”
穆淮操作一下，把钟杳的手稿实时投影到大幕布上，清晰展现给刚经历过拔高难度模拟考头脑风暴的一众竞赛主力军眼前。
雪白幕布上，三套截然不同的完整证明次第铺开。
第一套是所有人都学过的标准韦达跳跃；第二套，他们很陌生的数学工具，极简完成了对这道题目的证明；第三套，干脆舍弃韦达定理，依靠最小反例、最大公约数步步紧逼，路子冷僻却严丝合缝。
台下瞬间响起细碎的吸气声。
不少同学摸到第一套解法的门槛，眼前却看见同一道题，三种完整、各有巧思的证法并排陈列。
前排三个听过钟杳和穆淮对话的三人，已经很是谦逊，其他刚刚还在缓缓脑子的学生，这会儿不亚于五雷轰顶，头顶冒烟。
啥？
这是给他们干到哪里来了？
88年IMO P6，标准答案不是出了名的韦达跳跃？还能整其他解法？
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